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책소개

자연현상을 미분방정식으로 기술하고, 그 해 또는 해의 성질에 의해 자연 현상을 해명하는 것은 뉴턴 (Newton) 이래 300년 이상의 역사를 가지는 전통적인 방법이다. 특히 상미분방정식은 푸앵카레(Poincare) 이후, 해의 정성적 연구가 활발이 진행되었으며, 최근 카오스 현상, 프랙털 그리고 컴퓨터의 발달과 보급 등으로 이 분야의 연구는 폭넓고 깊이 있게 진행되었을 뿐만 아니라 인공지능, 생태계 등 여러 분야에 응용되고 있다.
이 책에서는 상미분방정식 전반을 다루는 것이 아니라 선형미분방정식계, 특히 주기계수 선형미분방정식계의 기초 이론을 다루되 종래와 달리 저자들에 의해 개발된 방법으로 새롭게 전개한다. 일반적으로 주기계수 선형미분방정식계에서 초기값과 대역적 해와는 1 대 1 대응이다. 즉 초기점을 주면, 그 점을 지나는 대역적 해가 유일하게 정해지며 그 해는 종래의 상수변화법의 공식(제차방정식의 해와 비제차방정식의 해의 합의 형태)으로 주어진다. 그러나 해의 점근적 행태는 적분 항 때문에 잘 알 수가 없다. 그러므로 초기값을 주면, 이에 따르는 해의 점근적 행태를 한 눈으로 알 수 있으면 다행이다. 바로 이러한 생각을 구현한 것이 이 책이다.
이를 위해 저자는 종래 방법과는 다르게 해를 주기함수와 행태를 알 수 있는 (지수함수와 비슷한) 함수의 합의 형태로 표현할 수 있다는 것을 밝힘으로써 이를 가능케 하였다. 이와 같은 해의 표현은 연속계를 이산화(차분화)하고 이산화된 차분방정식계의 새로운 해의 표현을 찾아내고, 그 결과를 다시 연속계로 돌림으로써 얻어진다. 이 과정에 이항계수, 베르누이 수 및 스털링 수 등이 밀접하게 관계된다. 그러므로 이 책은 연속계, 이산계, 수론의 융합체라고 말할 수 있다.

목차

제I편 선형계의 일반론
제1장 유한차원 공간에서의 스펙트럼 이론
제1절 이항정리와 다항식
제2절 벡터 (선형) 공간과 노음공간
제3절 직합과 사영
제4절 일반화된 고유공간: 일반적인 경우
제5절 일반화된 고유공간: 실행렬인 경우
제6절 스펙트럼 분해정리와 그 응용
제7절 일반 스펙트럼 분해정리와 일반 스펙트럼 사상정리
제8절 행렬의 지수와 행렬의 로그

제2장 선형미분방정식계의 일반론
제1절 선형미분방정식계의 기초정리
제2절 선형미분방정식계의 해의 일반적 성질
제3절 상수계수 선형미분방정식계
제4절 주기계수 선형미분방정식계

제3장 이산적인 선형차분방정식계의 일반론
제1절 선형차분방정식계의 기초 정리
제2절 선형차분방정식계의 해의 일반적 성질
제3절 상수계수 선형차분방정식계
제4절 주기계수 선형차분방정식계


제II편 주기선형계 I : 이산계
제4장 베르누이 수와 스털링 수
제1절 차분과 화분
제2절 베르누이 수와 그 성질
제3절 스털링 수와 그 성질
제4절 스털링 수의 다른 표현식과 그 응용
제5절 스털링 수, 베르누이 수, 이항계수 사이의 관계

제5장 이산적인 주기계수 선형차분방정식계
제1절 상수계수 선형차분방정식의 해의 표현 (I)
제2절 상수계수 선형차분방정식의 해의 표현 (II)
제3절 상수계수 선형차분방정식의 해의 점근적 행태과 유계성
제4절 주기계수 선형차분방정식계

제6장 행렬에 관한 변환공식
제1절 행렬의 지수에 관한 변환공식
제2절 행렬의 지수에 관한 변환공식의 증명
제3절 행렬의 멱에 관한 변환공식
제4절 변환공식의 응용

제III편 주기선형계 II : 연속계
제7장 비제차항이 주기함수인 상수계수 선형미분방정식계
제1절 해의 표현
제2절 주기화함수
제3절 해의 점근적 행태와 유계해
제4절 유계해의 구조
제5절 보기

제8장 비제차항이 주기함수인 주기계수 선형미분방정식계
제1절 주기작용소의 성질
제2절 해의 표현
제3절 보기
제4절 해의 점근적 행태
제5절 해의 유계성 : 특수한 경우

부록
A 벡터값 함수의 미분, 유한증분의 정리, 연속함수공간
B 미분방정식의 해의 존재성과 유일성
C 초기값에 관한 해의 의존성